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Uma folha de papel comum tem cerca de 0,1 milímetros de espessura, uma fração quase impossível de visualizar. Ainda assim, dobrada sucessivamente ao meio, essa folha transforma-se num objeto capaz de ultrapassar o pico mais alto do planeta e, pouco depois, a própria Lua, e o número de dobras necessário é muito mais baixo do que a maioria das pessoas imagina.
O truque está num fenómeno que a intuição humana lida mal: o crescimento exponencial. Cada nova dobra duplica tudo o que já foi acumulado, e é essa duplicação sucessiva que faz disparar os números de forma quase abrupta.
Onde os números começam a surpreender
A fórmula é simples: 0,1 milímetros multiplicados por 2 elevado ao número de dobras. Nos primeiros passos, o resultado ainda parece inofensivo.
Com 10 dobras, a pilha tem cerca de 10 centímetros e reúne 1.024 camadas de papel
Com 20 dobras, ultrapassa os 100 metros
Com 24 dobras, chega aos 1,68 quilómetros
É a partir daqui que a progressão começa a escapar à intuição comum.
A dobra que muda tudo
Entre as 24 e as 26 dobras, a pilha cresce de 1,68 para 6,71 quilómetros, ainda longe dos 8.848,86 metros do Evereste. Basta, no entanto, mais uma única dobra para mudar de escala por completo: a 27ª eleva o total a 13,42 quilómetros, ultrapassando o cume mais alto da Terra.
Essa última dobra, isolada, acrescenta tanto quanto todas as 26 anteriores juntas. É este salto que explica, em boa parte, por que razão o crescimento exponencial engana tão facilmente quem tenta prever o resultado a olho.
A resposta: bastam mais 15 dobras para chegar à Lua
Depois de ultrapassar o Evereste, seria razoável imaginar que faltariam centenas de dobras adicionais para alcançar a Lua. Não é o caso. Bastam apenas mais 15.
Com 40 dobras, a grossura teórica ronda os 109.951 quilómetros
Com 41 dobras, aproxima-se dos 219.902 quilómetros
Com 42 dobras, atinge cerca de 439.804 quilómetros
A distância média entre a Terra e a Lua é de aproximadamente 384.400 quilómetros, pelo que uma folha de 0,1 milímetros dobrada 42 vezes teria espessura suficiente para a ultrapassar. É este o número que, à partida, ninguém adivinharia: 42 dobras, não centenas nem milhares.
Uma experiência impossível de concluir
Apesar de a matemática ser exata, o exercício não pode ser reproduzido fisicamente até esse ponto. Cada dobra torna o pacote simultaneamente mais espesso e mais pequeno, e a curvatura necessária para completar a dobra seguinte exige cada vez mais material.
Numa folha A4 comum, chegar sequer às oito dobras já é extraordinariamente difícil, o que durante décadas alimentou a ideia de que nenhum papel podia ser dobrado ao meio mais de sete ou oito vezes.
Essa crença só foi desfeita em 2002, quando Britney Gallivan, então estudante do secundário na Califórnia, respondeu a um desafio académico para dobrar qualquer material ao meio 12 vezes. Depois de várias tentativas falhadas com folhas e jornais, a jovem desenvolveu equações próprias para calcular a quantidade de papel necessária consoante a espessura e a direção da dobra. Com uma tira contínua de papel de seda de cerca de 1.219 metros, conseguiu, ao fim de oito horas de trabalho, completar as 12 dobras e ficou registada no Guinness World Records como detentora do recorde.
As suas equações mostraram que o obstáculo nunca foi um limite místico de sete dobras, mas sim a geometria do próprio papel, em particular a curvatura exigida para envolver um pacote progressivamente mais espesso.
Onde tudo isto pode parar
Ignorando por completo as limitações físicas, a progressão teórica não fica pela Lua. Com 50 dobras, a grossura atingiria cerca de 112,6 milhões de quilómetros, e com 51 dobras chegaria aos 225,2 milhões, distância suficiente para ultrapassar os cerca de 150 milhões de quilómetros que separam, em média, a Terra do Sol.
A partir de sensivelmente 69 dobras, os números entrariam em escala de anos-luz, e pouco depois da centena aproximar-se-iam das dimensões do universo observável. Muito antes disso, claro, qualquer possibilidade física teria ficado para trás. Mas é justamente essa impossibilidade que ajuda a visualizar a ideia central: passar de uma décima de milímetro ao Evereste exige 27 duplicações e, a partir daí, bastam mais 15 para deixar também a Lua para trás.
